Die Differentialgeometrie lässt sich in klassische und moderne Teilgebiete unterteilen. Flächen und Körper im Anschauungsraum sowie deren geometrische Eigenschaften sind Gegenstand der klassischen Theorie. Zu diesen Objekten gehören beispielsweise Minimalflächen, welche in der Natur in Form von Seifenhäuten auftreten. Im Gegensatz hierzu wird die moderne Differentialgeometrie durch eine Theorie begründet, welche sich durch eine intrinsische Beschreibung geometrischer Objekte ergibt, also durch eine Beschreibung ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum. Als zentrale Teilgebiete in diesem Zusammenhang sind u.a. zu nennen: Riemannsche Geometrie, Kählergeometrie, symplektische Geometrie, Lorentz- und Sub-Riemannsche Geometrie.
Die Differentialgeometrie ist stark vernetzt mit anderen mathematischen Disziplinen wie etwa der Analysis, der Topologie, der Algebraischen Geometrie und der Darstellungstheorie. Wesentlich ist die Differentialgeometrie zudem für Anwendungsgebiete innerhalb der Theoretischen Physik. Ihre Einflüsse reichen von der Mechanik über die Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie bis hin zur Stringtheorie und Kosmologie.
Am Institut für Differentialgeometrie werden in den Arbeitsgruppen unter anderem die folgenden Forschungszweige vertreten:
Geometrische Evolutionsgleichungen
Ein zentrales Arbeitsgebiet des Instituts bilden geometrische Evolutionsgleichungen, geometrische partielle Differentialgleichungen und geometrische Analysis. Geometrische Evolutionsgleichungen gehören zu den spannendsten Werkzeugen in der modernen Differentialgeometrie und wurden daher in vielen Bereichen erfolgreich angewandt, wie etwa beim Beweis der Poincaré-Vermutung, der Geometrisierungsvermutung von Thurston oder beim differenzierbaren Sphärentheorem. Die wichtigsten geometrischen Evolutionsgleichungen sind: Ricci-, Sasaki-Ricci und Kähler-Ricci-Fluss, mittlerer Krümmungsfluss, Yamabe-Fluss, harmonischer Wärmefluss, Willmore-Fluss, Yang-Mills und Spinor-Fluss. Der Lagrangesche mittlere Krümmungsfluss ist von großer Bedeutung sowohl im Kontext der Vermutungen von Strominger-Yau-Zaslow und Thomas-Yau als auch in der Spiegelsymmetrie von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und der Theorie von minimalen Lagrange-Untermannigfaltigkeiten.
Kähler- und Sasaki-Geometrie
Neben den bereits aufgeführten Evolutionsgleichungen befasst sich das Institut mit Projekten aus dem Bereich der Kählergeometrie und der Kontaktgeometrie, z. B. mit Yamabe-Problemen auf dem Raum der adaptierten Kontaktmetriken einer Kontaktmannigfaltigkeit. Auch diese Fragestellungen lassen sich sehr gut mittels geometrischer Flussgleichungen untersuchen. Da hierbei meist schon unter einfachen Anfangsbedingungen Singularitäten auftreten, ist das Studium der dabei beobachtbaren Grenzfälle relevant.
Hyperkähler-Geometrie
Eine Hyperkähler-Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M,g) der Dimension 2n mit einer Holonomiegruppe, welche in Sp(n) enthalten ist. Hyperkähler-Mannigfaltigkeiten sind Spezialfälle von Kähler-Mannigfaltigkeiten. Da ihre Ricci-Krümmung verschwindet, sind sie damit insbesondere Spezialfälle von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.
Auf Hyperkähler-Mannigfaltigkeiten existieren zwei anti-kommutierende komplexe Strukturen I, J, welche wiederum eine dritte komplexe Struktur K:=IJ definieren. Insgesamt erzeugen I,J,K durch die Vorschrift L:=xI+yJ+zK, mit (x,y,z)∈S², ein S²-Bündel komplexer Strukturen L auf M. K3-Flächen sind Beispiele für Hyperkähler-Mannigfaltigkeiten. Am Institut werden verschiedene Aspekte im Zusammenhang mit Hyperkähler-Mannigfaltigkeiten untersucht.
Twistor-Theorie
Die Twistor-Theorie versucht im Wesentlichen, die grundlegenden mathematischen Eigenschaften der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik zusammenzuführen. Die Grundlagen der Twistor-Theorie wurden vom britischen Mathematiker und Physiker Roger Penrose entwickelt.
Mehrere wichtige geometrische Strukturen können über ihren Twistorraum konstruiert und untersucht werden, d.h. als Parameterraum von (reellen) rationalen Kurven in einer komplexen Mannigfaltigkeit. Natürlich auftretende Beispiele dieser Geometrien, welche Hyperkähler-Metriken enthalten, sind in mehreren Zweigen der Mathematik und der mathematischen Physik von großer Bedeutung: z.B. Köcher-Varietäten in der Darstellungstheorie, Hitchins Modulräume in der algebraischen Geometrie und der Theorie integrabler Systeme, eichtheoretische Modulräume von Monopolen und Instantonen in der mathematischen Physik.
Eichtheorie
Zu den weiteren Forschungsfeldern am Institut gehört die Eichtheorie. Beispiele für Eichtheorien sind der Elektromagnetismus, die Yang-Mills-Theorie und die Yang-Mills-Higgs-Theorie. Mathematisch werden die Eichtheorien auf Hauptfaserbündeln oder Vektorbündeln formuliert. Die Lösungen sind Zusammenhänge, die bestimmte partielle Differentialgleichungen erfüllen. Die Modulräume der Lösungen besitzen oft eine sehr interessante Geometrie. In der Yang-Mills-Theorie ist dies der Modulraum der Instantonen, in der Yang-Mills-Higgs-Theorie der Modulraum der magnetischen Monopole. Umgekehrt liefert das Verständnis der Modulräume neue Informationen über die Dynamik in der relevanten physikalischen Theorie.
Globale Flächentheorie
Die globale Flächentheorie bildet ein weiteres Arbeitsgebiet. Diese Theorie untersucht die optimale Realisation von Flächen in (drei-dimensionalen) Raumformen unter bestimmten Nebenbedingungen. Dabei ist das Institut insbesondere an Minimal- und CMC-Flächen sowie an Willmore-Flächen und an harmonischen Abbildungen in symmetrische Räume interessiert. Das Verhalten der Flächen hängt dabei fundamental von der Krümmung des umgebenden Raumes ab. Die Existenz von speziellen Flächen in positiv gekrümmten Räumen nachzuweisen, ist besonders herausfordernd. Bei negativer Krümmung des umgebenden Raumes sind Minimalflächen beziehungsweise harmonische Abbildungen in der Regel in ihrer Homotopieklasse eindeutig. Dies setzt die Abbildungen mit Darstellungen der Fundamentalgruppe der Fläche in eine direkte Beziehung, welche in den letzten Jahren in zahlreichen wichtigen Arbeiten in unterschiedlichsten Gebieten wie Zahlentheorie, geometrische Gruppentheorie, Stringtheorie, sowie algebraischer und Differentialgeometrie intensiv untersucht wurde.
Integrable Systeme
Klassische, endlich-dimensionale integrable Systeme sind dynamische Systeme mit der maximalen Anzahl von Erhaltungsgrößen. Unter milden Vorraussetzungen ist die Urbildmenge der Erhaltungsgrößen ein Torus, und der entsprechende Fluss auf diesem linear. Integrable Differentialgleichungen sind spezielle Differentialgleichungen, deren Lösungen viele geometrische Größen erhalten. Daher liegen deren Trajektorien im Durchschnitt von Niveaumengen der Erhaltungsgrößen. Mittels einer geeigneten Wahl von Koordinaten kann man häufig zeigen, dass die Trajektorien lineare Unterräume eines möglicherweise unendlich-dimensionalen Torus sind, weshalb man die Lösungen dieser speziellen Differentialgleichungen explizit lösen und studieren kann. Am Institut werden integrable Systeme auf Flächen höheren Geschlechts untersucht. Beispiele sind durch Minimalflächen und Flächen konstanter mittlerer Krümmung sowie durch Willmore-Flächen gegeben.
